Weekend S3/4 附加数学
附加数学（A-Math）从中三开始与数学（E-Math）一同修读，适合希望在普通数学大纲以外继续深造数学的学生。课程很快就会进入微积分，以及更正式的代数、坐标几何与三角法，并初次接触正式的几何证明写作。
代数：进阶内容
- 二次函数，包括利用配方法求最大值与最小值。
- 根式，以及求解含有根式的方程式。
- 多项式、余式定理与因式定理，以及部分分式。
- 二项式定理，以及指数函数与对数函数。
方程式与坐标几何
- 二次方程式的根为实根、相等根或无实根的条件。
- 其中一个方程式为一次、另一个为二次的联立方程式，以代入法求解。
- 二次不等式。
- 两条直线平行或垂直的条件、线段的中点、直线图形的面积，以及圆的方程式。
三角恒等式与方程式
附加数学的三角法不再只是应用基本的三角比，而是进一步要求证明恒等式，并求解在指定范围内可能有多个正确答案的方程式。常见的陷阱是找到一个答案后就停止，而没有检查题目所要求的完整范围。
第1题
解方程 2cos²θ − 1 = 0，其中 0° ≤ θ ≤ 360°。
cos²θ = 1/2，所以 cos θ = ±1/√2
在0°至360°之间，cos θ = ±1/√2 共有四个解
θ = 45°, 135°, 225°, 315° ✓
微分：真正全新的概念
微分是这个大纲中唯一一个没有直接从先前程度延伸而来的课题 — 它是一种全新的思考方式，用来理解曲线的斜率，而不是学生已掌握的代数的延伸。一旦掌握了运算方法，就能进一步理解斜率、切线与变化率。
第2题
将 y = x³ − 4x² + 5 微分，并求曲线在 x = 2 时的斜率。
dy/dx = 3x² − 8x
当 x = 2 时：3(2)² − 8(2) = 12 − 16
x = 2 时的斜率是 −4 ✓
积分：微分的逆运算
积分是微分的逆运算，运算过程 — 把幂法则反过来用 — 通常是比较容易的部分。真正的难点在于"+ c"：对导数进行逆运算，会得到一整个具有相同斜率函数的曲线族，需要多一项信息，例如曲线通过的某一点，才能准确定出其中一条曲线。
第3题
已知 dy/dx = 6x² − 4，且曲线经过点 (1, 3)，求以 x 表示的 y。
y = 2x³ − 4x + c
当 (1, 3) 时：3 = 2(1) − 4(1) + c，所以 c = 5
y = 2x³ − 4x + 5 ✓
化曲线为直线（The Linear Law）
有些关系在普通的坐标图上并不是直线，但经过适当的变量代换后就会变成直线。这个方法把像 y = kxⁿ 这样的方程式，两边取对数，转化为一条直线的方程式。运算步骤本身不长；常见的错误，是看错转换后哪个量代表斜率、哪个量代表截距。
第4题
变量 x 与 y 的关系为 y = kxⁿ。将 lg y 对 lg x 作图，得到一条斜率为3、纵截距为0.7的直线。求 n 和 k 的值。
lg y = lg k + n(lg x)
斜率 = n，所以 n = 3。截距 = lg k = 0.7，所以 k = 100.7
n = 3, k ≈ 5.01 ✓
平面几何证明
这是附加数学中唯一不以计算出答案为重点的部分 — 而是要写出逻辑完整的论证，每一步都以全等、相似，或平行线与圆的性质作为明确的理由，就像建构一个正式的证明一样。这部分失分，往往不是因为数学算错，而是因为跳过步骤，或没有写明理由。
第5题
在三角形 ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点。证明 AD 垂直于 BC。
在 △ABD 与 △ACD 中：AB = AC（已知），BD = DC（D 是中点），AD = AD（公共边）
所以 △ABD ≅ △ACD（SSS 全等），因此 ∠ADB = ∠ADC。由于 ∠ADB + ∠ADC = 180°，所以每个角都等于90°
AD ⊥ BC（证毕） ✓
另见 数学（E-Math）
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